给定阶数的无三角形有向图的最小无环数与最大二色数

设 $D$ 为有向图。其无环数 $\vec{\alpha}(D)$ 定义为最大无环诱导子有向图的阶数，其二色数 $\vec{\chi}(D)$ 定义为将 $V(D)$ 划分为 $k$ 个诱导无环子有向图子集所需的最小整数 $k$。我们研究了 ${\vec a}(n)$ 和 $\vec t(n)$，它们分别是在所有阶数为 $n$ 的无三角形有向图中 $\vec\alpha(D)$ 的最小值和 $\vec{\chi}(D)$ 的最大值。对于任意 $\epsilon>0$ 且 $n$ 足够大，我们证明了 $(1/\sqrt{2} - \epsilon) \sqrt{n\log n} \leq \vec{a}(n) \leq \frac{107}{8} \sqrt n \log n$ 以及 $\frac{8}{107} \sqrt n/\log n \leq \vec{t}(n) \leq (\sqrt 2 + \epsilon) \sqrt{n/\log n}$。我们还构造了一个具有 25 个顶点且二色数为 3 的无三角形有向图，并证明了任何阶数不超过 17 的无三角形有向图的二色数至多为 2。