有向图的$m$-退化色数

有向图$D$的有向图色数（记为$\chi_A(D)$）是指最小正整数$k$，使得$D$的顶点集可划分为$k$个不相交子集，且每个子集导出的子图均为无环图。对于任意$m \geq 1$，若一个有向图的每个诱导子图均存在一个入度或出度小于$m$的顶点，则称该有向图为弱$m$-退化的。我们引入了有向图色数的一个推广概念，即$\chi_m(D)$，它表示将有向图$D$的顶点划分为若干子集所需的最小数量，使得每个子集导出的子图均为弱$m$-退化图。我们证明，对于所有不含定向 2-圈的有向图$D$，有$\chi_m(D) \leq \frac{2{\Delta}(D)}{4m+1} + O(1)$。由于$\chi_1(D) = \chi_A(D)$，我们得到一个推论：$\chi_A(D) \leq 2/5 \cdot {\Delta}(D) + O(1)$。随后，我们利用该界限证明了$\chi_A(D) \leq \sqrt{2/3} \cdot \tilde{\Delta}(D) + O(1)$，这一结果显著改进了 Harutyunyan 和 Mohar 提出的界限，后者指出对于足够大的$\tilde\Delta(D)$，有$\chi_A(D) \leq (1 - e^{-13})\cdot \tilde\Delta(D)$。