有向图二色数的新界

图 $G$ 的色数记为 $\chi(G)$,是使得 $G$ 对其顶点集容许一种 $k$-着色、且每个颜色类为独立集(两两不相邻顶点的集合)的最小 $k$。有向图 $D$ 的二色数记为 $\chi_A(D)$,是使得 $D$ 对其顶点集容许一种 $k$-着色、且每个颜色类无环的最小 $k$。1976 年,Bondy 证明了有向图 $D$ 的色数至多为其围长(最长环的长度)。给定有向图 $D$,我们将构造三个不同的图,其色数界定 $\chi_A(D)$。此外,我们证明:i) 对整数 $k\geq 2$、$s\geq 1$ 以及 $r_1, \ldots, r_s$ 满足 $k\geq r_i\geq 0$ 且对每个 $i\in[s]$ 有 $r_i\neq 1$,若 $D$ 中所有环的长度对某个 $r\in\{r_1,\ldots,r_s\}$ 均同余 $r$ 模 $k$,则 $\chi_A(D)\leq 2s+1$;ii) 若 $D$ 的围长为 $g$,且存在整数 $k$ 和 $p$ 满足 $k\geq g-1\geq p\geq 1$,使得对 each $r\in \{-p+2,\ldots,0,\ldots,p\}$,$D$ 不含长度同余 $r$ 模 $\lceil \frac{k}{p} \rceil p$ 的环,则 $\chi_A (D)\leq \lceil \frac{k}{p} \rceil$;iii) 若 $D$ 的围长 $g$(最短环的长度)为且周长为 $c$,则 $\chi_A(D)\leq \lceil \frac{c-1}{g-1} \rceil +1$,这实质性地改进了 Bondy 提出的界。我们的结果表明,若我们对有向图中环的长度有更多了解,则可改进迄今已知的二色数界。