有向图中的强连通性与有向三角形：Caccetta-Häggkvist 猜想一个特例的部分结果

Caccetta-Häggkvist 猜想的一个特例断言，一个阶为 $n$ 且最小出度至少为 $1/3n$ 的有向图包含一个长度至多为 3 的有向圈。最近，Kral、Hladky 和 Norine 证明了阶为 $n$ 且最小出度至少为 $0.3465n$ 的有向图包含一个长度至多为 3 的有向圈（这是目前最好的结果）。一个较弱的特例断言，阶为 $n$ 且最小半度至少为 $1/3n$ 的有向图包含一个有向三角形。在最近的一篇论文中，作者利用 Kral 等人的结果证明了对于 $\beta\geq 0.343545$，任何阶为 $n$ 且最小半度至少为 $\beta n$ 的有向图 $D$ 都包含一个长度至多为 3 的有向圈（这是目前最好的结果）。这意味着对于给定的整数 $d\geq 1$，每个最小半度为 $d$ 且阶为 $md$（其中 $m\leq 2.91082$）的有向图都包含一个长度至多为 3 的有向圈。特别地，每个最小半度为 $d$ 且阶为 $md$（其中 $m\leq 2.91082$）的有向图都包含一个有向三角形。在本文中，我们利用 Kral 等人的结果证明了，每个最小半度为 $d$、阶为 $md$（其中 $2.91082< m\leq 3$）且强连通性至多为 $0.679d$ 的有向图都包含一个有向三角形。这将由一个更一般且更精确的结果所蕴含，该结果不仅对 $2.91082< m\leq 3$ 有效，对更大的 $m$ 值也有效。作为应用，我们改进了两个现有结果。第一个结果（作者 Broersma 和 Li）涉及一个阶为 $n$ 且最小半度至少为 $\frac{n}{3}$ 的无三角形有向图中长度为 4 的有向圈的数量。第二个结果（作者 Kelly、Kühn 和 Osthus）涉及一个阶为 $n$ 且最小半度至少为 $\frac{n}{5}$ 的无三角形有向图的直径。