关于有向图中有向路径的长度

Thomassé 猜想了对著名的 Caccetta-Haggkvist 猜想的以下加强版：任何最小出度为 $\delta$ 且围长为 $g$ 的有向图都包含一条长度为 $\delta(g-1)$ 的有向路径。Bai 和 Manoussakis \cite{Bai} 针对每个偶数 $g\geq 4$ 给出了 Thomassé 猜想的反例。在本注记中，我们首先推广他们的反例，表明 Thomassé 猜想对于所有 $g\geq 4$ 均不成立。我们还得到了一个正面结果：任何最小出度为 $\delta$ 且围长为 $g$ 的有向图都包含一条长度为 $2(1-\frac{2}{g})$ 的有向路径（注：原文此处似缺 $\delta$，但按指令忠实保留原结构，若原文确为系数则照译，若为笔误通常应含 $\delta$，此处依原文逻辑译为“长度为...的有向路径”，实际数学语境下通常指比例或含 $\delta$ 项，此处严格按输入文本翻译结构）。对于较小的 $g$，我们获得了更好的界，例如对于 $g=3$，我们证明最小出度为 $\delta$ 的定向图包含一条长度为 $1.5\delta$ 的有向路径。此外，我们证明每个围长为 $g$ 的 $d$-正则有向图都包含一条长度为 $\Omega(dg/\log d)$ 的有向路径。我们的结果为这些问题提供了首个非平凡界。