图中圈长猜想的统一证明

本文中，我们证明了一般图中存在两端给定、其长度构成公差为 1 或 2 的长等差数列的路径的紧最小度条件。这使我们能够获得关于给定最小度、连通性或色数图中圈长的若干精确且最优的结果。更确切地说，我们通过统一的方法证明了以下陈述。(1) 每个最小度至少为 $k+1$ 的图 $G$ 包含模 $k$ 的所有偶长度圈；此外，若 $G$ 是 2-连通且非二部的，则它包含模 $k$ 的所有长度圈。(2) 对所有 $k\geq 3$，每个 $k$-连通图包含一个长度模 $k$ 为零的圈。(3) 每个最小度至少为 $k+1$ 的 3-连通非二部图包含 $k$ 个连续长度的圈。(4) 每个色数至少为 $k+2$ 的图包含 $k$ 个连续长度的圈。第一个陈述是 Thomassen 的猜想，第二个是 Dean 的猜想，第三个是对 Bondy 与 Vince 问题的一个紧回答，第四个是 Sudakov 与 Verstraëte 的猜想。上述所有结果均为最佳可能。