高连通度或最小度有向图中带长度约束的不相交圈

Lichiardopol 的一个猜想指出，对每个 $k \ge 1$，存在整数 $g(k)$，使得每个最小出度至少为 $g(k)$ 的有向图包含 $k$ 个顶点不相交且长度两两不同的有向圈。受 Lichiardopol 猜想的启发，我们研究高连通度或高最小度有向图中满足长度约束的顶点不相交有向圈的存在性。我们的主要结果是，对每个 $k \in \mathbb{N}$，存在 $s(k) \in \mathbb{N}$，使得每个强 $s(k)$-连通有向图包含 $k$ 个顶点不相交且长度两两不同的有向圈。相反，对每个 $k \in \mathbb{N}$，我们构造了一个强 $k$-连通有向图，它不包含两个长度相同的顶点不相交或弧不相交的有向圈。$g(3)$ 是否存在是一个开放问题。在此我们证明存在整数 $K$，使得每个最小出度和入度至少为 $K$ 的有向图包含 $3$ 个顶点不相交且长度两两不同的有向圈。