2-连通图中长圈的 Dirac 定理的超图类比

Dirac 证明了每个最小度至少为 $k$ 的 $n$ 顶点 $2$-连通图包含长度至少为 $\min\{2k, n\}$ 的圈。我们考虑该结果的一个超图版本。超图中的 Berge 圈是不同顶点与边的交错序列 $v_1,e_2,v_2, \ldots, e_c, v_1$，使得对所有 $i$（指标模 $c$ 取值）有 $\{v_i,v_{i+1}\} \subseteq e_i$。我们证明对于 $n \geq k \geq r+2 \geq 5$，每个最小度至少为 ${k-1 \choose r-1} + 1$ 的 $2$-连通 $r$-一致 $n$ 顶点超图具有长度至少为 $\min\{2k, n\}$ 的 Berge 圈。该界对所有 $k\geq r+2\geq 5$ 是精确的。