哈密顿图中的含 k 个圈的 2-因子

Dirac 定理的一个著名推广指出，若顶点数为 $n\ge 4k$ 的图 $G$ 的最小度至少为 $n/2$，则 $G$ 包含一个恰好由 $k$ 个圈组成的 $2$-因子。容易看出，就最小度的界而言这是紧的。然而，若额外假设 $G$ 是哈密顿图，则有人猜想最小度的界可以放宽。S\'ark\"ozy 确实证明了这一点。在后续论文中，最小度界已被改进，最近由 DeBiasio、Ferrara 和 Morris 改进到 $(2/5+\varepsilon)n$。另一方面，尚不知道接近此值的下界，且所有关于该主题的论文都询问最小度是否必须为线性的。我们回答了这个问题，表明对于大的哈密顿图，具有由固定数量圈组成的 $2$-因子所需的最小度在 $n$ 中是次线性的。