图论中 Dirac 长圈定理的超图类比，II：大均匀度情形

Dirac 证明了每个具有最小度 $k$ 的 $n$ 顶点 $2$-连通图包含长度至少为 $\min\{2k, n\}$ 的圈。我们获得了超图中 Berge 圈的类似结果。近期，作者在 $k \geq r+2$ 时给出了 $n$ 顶点 $r$-均匀 $2$-连通超图中保证长度为至少 $\min\{2k, n\}$ 的 Berge 圈的最小度的精确下界。本文处理 $k \leq r+1$ 的情形，此时界呈现不同行为。我们证明每个具有最小度 $k$ 的 $n$ 顶点 $r$-均匀 $2$-连通超图 $H$ 包含长度至少为 $\min\{2k,n,|E(H)|\}$ 的 Berge 圈。若 $|E(H)|\geq n$，该界与 Dirac 关于 $2$-连通图的定理中的界一致。