关于有向图中顶点不交圈的个数

设 $k$ 为正整数。Bermond与Thomassen于1981年猜想，每个最小出度至少为 $2k-1$ 的有向图包含 $k$ 个顶点不交圈。该猜想作为[Bondy, Murty, Graph Theory, Springer-Verlag London, 2008]中选出的百个未解问题之一而著名。Lichiardopol、Por与Sereni在[SIAM J. Discrete Math. 23 (2) (2009) 979-992]中证明了上述猜想对 $k=3$ 成立。设 $g$ 为给定有向图的围长，即最短圈的长度。Bang-Jensen、Bessy与Thomassé在[J. Graph Theory 75 (3) (2014) 284-302]中猜想，每个围长为 $g$ 且最小出度至少为 $\frac{g}{g-1}k$ 的有向图包含 $k$ 个顶点不交圈。Thomassé约于2005年猜想，每个围长为 $g$ 且最小出度至少为 $h$ 的有向图（无2-圈的有向图，即定向图）包含一条长度为 $h(g-1)$ 的路，其中 $h$ 为正整数。在本注记中，我们首先给出Bermond-Thomassen猜想在 $k=3$ 情形下的一个更简短的新证明，随后推翻由Bang-Jensen、Bessy与Thomassé提出的猜想。最后，我们推翻Thomassé所提猜想的偶围长情形。