Picasarri-Arrieta和Rambaud问题的改进界限

设$k$和$\ell$为正整数。由两个块组成的循环$C(k,\ell)$是由两个内部顶点互不相交的有向路径组成的有向图，分别长度为$k$和$\ell$，且具有相同的初始顶点和终点。Picasarri-Arrieta和Rambaud（European J. Combin.，2024）证明了对于任意$k\geq 2$，最小出度至少为2且周期至少为$8k-6$的每个有向图都包含$C(k,k)$的子图。他们还构造了一个由多个有向图组成的族，表明周期不能降低到$k-1$，并提出了确定使每个出度至少为2的有向图包含$C(k,k)$子图所需的最小周期的问题。本文改进了周期的下界，从$8k-6$提高到$4k+2$，并构造了一个由多个有向图组成的族，其中每个成员的最小出度为2且周期为$k$，但不包含$C(k,k)$的子图。因此，我们的结果表明相关周期位于$k+1$和$4k+2$之间。