奇圈中出现的边的最小数量

若图具有$n\ge4k$个顶点且边数多于$n^2/4$，则它包含$C_{2k+1}$的一个副本。1992年，Erd\H{o}s、Faudree和Rousseau进一步表明，出现在三角形中的边数至少为$2\lfloor n/2\rfloor+1$，且该界是紧的。他们还表明，对于$k\ge2$，出现在$C_{2k+1}$中的边数的最小值至少为$11n^2/144-O(n)$，并猜想对任意$k\ge2$，正确的下界应为$2n^2/9-O(n)$。最近，F\"uredi和Maleki构造了$k=2$的反例，并证明了渐近匹配下界，即对任意$\varepsilon>0$，具有$(1+\varepsilon)n^2/4$条边的图包含至少$(2+\sqrt{2})n^2/16 \approx 0.2134n^2$条出现在$C_5$中的边。本文采用不同方法处理该问题，得到如下更强结果：任何具有至少$\lfloor n^2/4\rfloor+1$条边的$n$顶点图，包含至少$(2+\sqrt{2})n^2/16-O(n^{15/8})$条出现在$C_5$中的边。进而，对所有$k\ge 3$且$n$足够大，我们确定了具有多于$n^2/4$条边的$n$顶点图中出现在$C_{2k+1}$中的边数的精确最小值，并证明它确实等于$\lfloor\frac{n^2}4\rfloor+1-\lfloor\frac{n+4}6\rfloor\lfloor\frac{n+1}6\rfloor=2n^2/9-O(n)$。对这两个结果，我们给出了极值构型的结构描述并获得了相应的稳定性结果，回答了F\"uredi和Maleki的一个猜想。主要方法是结合旗代数与图极限有限可强迫性思想的新途径。该方法使我们能追踪保证$C_{2k+1}$存在所需的额外边。此外，我们建立了半定方法的首个应用，其紧例集合具有指数大小且源于不同构造。