$(p+1)K_2$-饱和图中边数的最小值

给定图族 $\mathcal{F}$，若图 $G$ 为 $\mathcal{F}$-饱和，则其为 $\mathcal{F}$-自由，但添加任何缺失边会创建某个 $F \in \mathcal{F}$ 的副本。求 $\mathcal{F}$-饱和图中边数的最小值是极值图论中的核心议题。令 $(p+1)K_2$ 表示大小为 $p+1$ 的匹配。确定 $(p+1)K_{2}$-饱和图中边数的最小值是该领域的基本问题，Faudree 等人于 2011 年的调查中明确提出为 Problem 9。本文细化了 $(p+1)K_2$-饱和图的结构分析，推导以单个整数参数为单位的边数公式。通过最小化该公式，我们确定 $\mathrm{sat}(n,(p+1)K_2)$ 对于所有 $n>2p$ 的值，从而完全解决了 Problem 9，并扩展了 K\'aszonyi--Tuza (1986) 和 Zhang--Lu--Yu (2024) 的先前结果。此外，通过最大化同一公式，我们恢复了经典的 Erd\H{o}s--Gallai (1959) 对此类图中边数上限。