团饱和边的最小数量

设 $G$ 为一个 $K_p$-自由图。若 $e\notin E(G)$ 且 $G+e$ 含有一个 $K_p$ 的拷贝，则称 $e$ 为 $G$ 的一条 $K_p$-饱和边。记 $f_p(n, e)$ 为具有 $e$ 条边、含 $n$ 个顶点的 $K_p$-自由图所能拥有的 $K_p$-饱和边的最小数量。Erd\H{o}s 与 Tuza 猜想 $f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=\left(1 + o(1)\right)\frac{n^2}{16}$。Balogh 与 Liu 反驳了该猜想，证明 $f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=(1+o(1))\frac{2n^2}{33}$。他们相信将其构造自然推广到 $K_p$-自由图也应是最优的，并猜想对所有整数 $p\ge 3$ 有 $f_{p+1}(n,ex(n,K_p)+1)=\left(\frac{2(p-2)^2}{p(4p^2-11p+8)}+o(1)\right)n^2$。本文的主要结果是证实上述 Balogh 与 Liu 的猜想。