关于 $K_4$-free 图中三角形的数量

Erd\H{o}s 提出疑问：对于任意 $n$-顶点图 $G$，参数 $p^*(G)=\min \sum_{i\ge 1} (|V(G_i)|-1)$ 是否至多为 $\lfloor n^2/4\rfloor$，其中最小值取自 $G$ 的所有边不相交团 $G_i$ 的边分解。在一个受限情形下（Erd\H{o}s 也独立提出了此猜想），Gy\H{o}ri 和 Keszegh [Combinatorica, 37(6) (2017), 1113--1124] 证明了对于所有 $K_4$-free 图 $G$，$p^*(G)\leq \lfloor n^2/4\rfloor$。受其证明方法的启发，他们猜想对于任意具有 $e$ 条边的 $n$-顶点 $K_4$-free 图 $G$，以及 $G$ 的任意大小为 $r$ 的贪心划分 $P$，$G$ 中三角形的数量至少为 $r(e-r(n-r))$。若成立，这将意味着 $p^*(G)$ 的一个更强界。在本文中，我们通过构造具有任意大间隙的无穷多反例推翻了他们的猜想。我们进一步建立了此类图中三角形数量的修正紧下界，一旦排除了我们识别出的一些小反例，该下界将恢复所猜想的界。