关于 Erd\H{o}s、Gallai 和 Tuza 的一个猜想

Erd\H{o}s、Gallai 和 Tuza 提出了如下问题：给定一个 $n$ 顶点图 $G$，令 $\tau_1(G)$ 表示使 $G$ 无三角形所需删除的边的最小集合大小，令 $\alpha_1(G)$ 表示从 $G$ 的每个三角形中至多包含一条边的边的最大集合大小。是否总有 $\alpha_1(G) + \tau_1(G) \leq n^2/4$？我们有两个主要结果。首先，作为对 Erd\H{o}s--Gallai--Tuza 猜想的部分结果，我们得到了上界 $\alpha_1(G) + \tau_1(G) \leq 5n^2/16$。我们还证明了恒有 $\alpha_1(G) \leq n^2/2 - m$，其中 $m$ 是 $G$ 中的边数；该界在若干显著情形下是紧的。