对 Tuza 猜想一个推广的改进界

对于 $r$-一致超图 $H$，令 $\nu^{(m)}(H)$ 表示 $H$ 中边集合 $M$ 的最大大小，使得 $M$ 中任意两条边在少于 $m$ 个顶点上相交；令 $\tau^{(m)}(H)$ 表示顶点 $m$-集合收集 $C$ 的最小大小，使得 $H$ 中每条边都包含 $C$ 的一个元素。这些参数的分数类比分别记为 $\nu^{*(m)}(H)$ 和 $\tau^{*(m)}(H)$。推广 Tuza 关于图中覆盖三角形的著名猜想，Aharoni 和 Zerbib 猜想对每个 $r$-一致超图 $H$ 有 $\tau^{(r-1)}(H)/\nu^{(r-1)}(H) \leq \lceil{\frac{r+1}{2}}\rceil$。本文我们证明了参数 $\tau^{(m)}$ 与 $\nu^{(m)}$ 及其分数类比之间比值的界。我们的主要结果是，对每个 $r$-一致超图 $H$，$$\tau^{*(r-1)}(H)/\nu^{(r-1)}(H) \le \begin{cases} \frac{3}{4}r - \frac{r}{4(r+1)} &\text{当 }r\text{ 为偶数,}\\ \frac{3}{4}r - \frac{r}{4(r+2)} &\text{当 }r\text{ 为奇数.} \ \end{cases}$$ 这改进了已知的 $r-1$ 界。我们还证明，对每个 $r$-一致超图 $H$，$\tau^{(m)}(H)/\nu^{*(m)}(H) \le \operatorname{ex}_m(r, m+1)$，其中图兰数 $\operatorname{ex}_r(n, k)$ 是不包含 $k$ 个顶点上完全 $r$-一致超图副本的 $n$ 顶点 $r$-一致超图的最大边数。最后，我们证明了特例 $(r,m)=(4,2)$ 和 $(r,m)=(4,3)$ 下的进一步界。