关于相交超图 Ryser 猜想的评论

设 $\tau(\mathcal{H})$ 为超图 $\mathcal{H}$ 的覆盖数，$\nu(\mathcal{H})$ 为其匹配数。Ryser 猜想每一个 $r$-部超图 $\mathcal{H}$ 都满足不等式 $\tau(\mathcal{H}) \leq (r-1) \nu (\mathcal{H})$。该猜想对所有 $r \ge 4$ 均未解决。对于相交超图（即满足 $\nu(\mathcal{H})=1$ 的超图），Ryser 猜想简化为 $\tau(\mathcal{H}) \leq r-1$。即使这一简化后的猜想也极其困难，且对所有 $r \ge 6$ 仍未解决。对于无穷多个 $r$，存在满足 $\tau(\mathcal{H})=r-1$ 的相交 $r$-部超图实例，证明了该猜想在此类 $r$ 下的紧性。然而，所有先前已知的构造都不是最优的，因为它们使用了过多的边。给定一个相交 $r$-部超图的覆盖数尽可能大（即 $\tau(\mathcal{H}) \ge r-1$），它可以稀疏到什么程度？本文解决了 $r \le 5$ 时的这一问题，给出了 $r=6$ 时的近乎最优构造，证明了任何满足 $\tau(H) \ge r-1$ 的 $r$-部相交超图必须至少拥有 $(3-\frac{1}{\sqrt{18}})r(1-o(1)) \approx 2.764r(1-o(1))$ 条边，并猜想存在具有 $\Theta(r)$ 条边的构造。