具有极大覆盖数的相交与2-相交超图：Erdős-Lovász主题的再探
组合数学
2021-01-19 v1
摘要
Erdős 与 Lovász 注意到，一个具有极大覆盖数即 τ(H)=r 的 r-一致相交超图 H 必须至少有 \frac{8}{3}r-3 条边。45 年来这一下界未曾得到改进。我们尝试通过研究一些小情形来理解其原因，以探明真相是否非常接近这一简单界。令 q(r) 表示一个相交 r-一致超图中的最小边数。已知 q(3)=6 且 q(4)=9。我们得到如下新结果：一致性为 4 的极值例子是唯一的。有些令人惊讶的是，它无论如何都不是对称的。对于一致性为 5，q(5)=13，我们找到了 3 个例子，它们均非某些已知图。我们同时使用了理论论证与计算机搜索。循着 Erdős 与 Lovász 的足迹，我们也考虑了超图属于有限射影平面一部分的特殊情形。我们确定了 r\in \{3,4,5,6\} 时的精确答案。对于一致性为 6，存在唯一的极值例子。在一个相关问题中，我们尝试寻找具有极大覆盖数即 τ(H)=r-1 的 2-相交 r-一致超图。一个无限的例子族是取一个 (2r-2)-顶点集的所有可能 r-子集。还存在一个几何候选：双平面。这些是具有 λ=2 的对称 2-设计。我们确定在 18 个已知例子中仅有 3 个双平面是极值的。
引用
@article{arxiv.2011.04444,
title = {Intersecting and $2$-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erd\H{o}s-Lov\'asz theme revisited},
author = {János Barát},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.04444},
year = {2021}
}