Ryser 猜想的推广与加强

Ryser 猜想称，对于每一个匹配数为 $\nu(H)$ 的 $r$-部超图 $H$，其顶点覆盖数至多为 $(r-1)\nu(H)$。这一对 K\"onig 定理的深远推广仅已知对 $r\leq 3$，或 $\nu(G)=1$ 且 $r\leq 5$ 成立。Ryser 猜想的一个等价表述是：在独立数为 $\alpha(G)$ 的图 $G$ 的每一个 $r$-边染色中，存在至多 $(r-1)\alpha(G)$ 个单色连通子图覆盖 $G$ 的顶点集。我们主张，Ryser 猜想的后一种表述自然地引向一系列更强的猜想以及对超图和多方图的推广。关于这些推广与加强，我们综述了已知结果，对其中的部分结果进行了改进，并引入了一批新的问题与结果。