无三角形图的特征值谱

记 $q_n(G)$ 为 $n$ 顶点图 $G$ 的无符号拉普拉斯矩阵的最小特征值。Brandt 于 1997 年猜想，对于正则无三角形图有 $q_n(G) \leq \frac{4n}{25}$。我们证明了一个更强的结果：若 $G$ 是无三角形图，则 $q_n(G) \leq \frac{15n}{94}< \frac{4n}{25}$。Brandt 的猜想是 Erdős 两个著名猜想的子问题：（1）稀疏一半猜想：每个 $n$ 顶点无三角形图有一个大小为 $\lceil\frac{n}{2}\rceil$ 的顶点子集，其所跨边不超过 $n^2/50$。（2）每个 $n$ 顶点无三角形图可通过删去至多 $n^2/25$ 条边变为二部图。在我们的证明中，我们使用线性代数方法，以含 3 与 4 个顶点的诱导路数目之比上界 $q_n(G)$。我们通过旗帜代数方法给出了该比的上界。