最小化 $K_{s,t}$-饱和二部图中的边数

本文考虑饱和二部图中的边数最小化问题。一个 $n$ 乘 $n$ 的二部图 $G$ 称为 $H$-饱和的，如果 $G$ 不包含同构于 $H$ 的子图，但向 $G$ 添加任意缺失边都会产生一个 $H$ 的副本。半个多世纪前，Wessel 和 Bollob\'as 分别解决了 $K_{(s,t)}$-饱和图中边数最小化的问题，其中 $K_{(s,t)}$ 是从第一颜色类取 $s$ 个顶点、从第二颜色类取 $t$ 个顶点的“有序”完全二部图。然而，这一问题的非常自然的“无序”类比直到五年前才由 Moshkovitz 和 Shapira 考虑。当 $s=t$ 时，容易验证无序变体恰好与有序情形相同。后来，Gan、Kor\'andi 和 Sudakov 给出了 $K_{s,t}$-饱和的 $n$ 乘 $n$ 二部图最小边数的渐近紧界，该界仅比 Moshkovitz 和 Shapira 的猜想相差一个加性常数。在本文中，我们通过极值图的分类证实了他们对 $s=t-1$ 的猜想。我们还改进了 Gan、Kor\'andi 和 Sudakov 对一般 $s$ 和 $t$ 以及所有充分大 $n$ 的估计。