在给定边密度图中最小化 5-圈的数量

受 Razborov 关于图中三角形最小密度工作的启发，我们研究了 5-圈 $C_5$ 的最小密度。我们证明，每个阶为 $n$、大小为 $\left( 1-\frac{1}{k}\right)\binom{n}{2}$（其中 $k\ge 3$ 为整数）的图至少包含 $$\left( \frac{1}{10} -\frac{1}{2k} + \frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^3} + \frac{2}{5 k^4} \right)n^5 +o(n^5)$$ 个 $C_5$ 的拷贝。该下界是最优的，因为平衡完全 $k$-部图给出了匹配的上界。证明基于旗帜代数（flag algebras）框架。我们还提供了一个稳定性结果。验证我们的证明无需 SDP 求解器。