在 $K_r$-自由图中最大化五元环的数量

Erd\H{o}s 五边形问题要求找到一个具有 $n$ 个顶点且不含三角形、并使 $5$-环数量最大的图。该问题由 Grzesik 以及 Hatami, Hladk\'{y}, Kr\'{a}l', Norin 和 Razborov 独立地使用旗帜代数(flag algebras)解决。最近，Palmer 提出了在 $K_{k+1}$-自由图中最大化 $5$-环数量的一般问题。利用旗帜代数，我们证明对于任意 $k \geq 3$，阶为 $n$ 的每个 $K_{k+1}$-自由图至多包含 $$\frac{1}{10k^4}(k^4 - 5k^3 + 10k^2 - 10k + 4)n^5 + o(n^5)$$ 个 $C_5$ 的拷贝，且对足够大的 $n$，极图是 Tur\'{a}n 图。