一个关于最小 $k$-团数的 Erdős 问题

五十年前，Erdős 提出确定在独立数小于 $l$ 的 $n$ 个顶点图中 $k$-团的最小数量。他猜想这个最小值由 $l-1$ 个大小为 $\frac{n}{l-1}$ 的完全图的不交并达到。该猜想被 Nikiforov 推翻，他证明了一个 5-圈的平衡膨胀比两个大小为 $\frac{n}{2}$ 的完全图的并具有更少的 4-团。本文我们解决了 Erdős 问题在 $(k,l)=(3,4)$ 和 $(k,l)=(4,3)$ 的情形。利用稳定性论证，我们还刻画了极值实例的精确结构，证实了 Erdős 猜想对 $(k,l)=(3,4)$ 成立，并证明了一个 5-圈的膨胀给出了 $(k,l)=(4,3)$ 的最小值。