4-色图至少包含4个长度为$0 \bmod 3$的圈

Brewster、McGuinness、Moore和Noel在2018年提出的一个猜想断言：对于$k \ge 3$，如果一个图的色数大于$k$，那么它包含的长度为$0 \bmod k$的圈的数量至少与$k+1$个顶点的完全图一样多。我们的主要结果在$k=3$情形下证实了这一点，证明了每个4-临界图至少包含4个长度为$0 \bmod 3$的圈，并且$K_4$是唯一达到最小值的此类图。我们也在一般猜想上取得了进展，证明了最小度为$k$的$(k+1)$-临界图具有至少与$K_{k+1}$一样多的长度为$0 \bmod r$的圈，前提是$k+1 \not\equiv 0 \bmod r$。我们还证明了$K_{k+1}$在所有$(k+1)$-临界图中唯一地最小化了长度为$1 \bmod k$的圈的数量，这加强了Moore和West最近的一个结果，并将其推广到$k=3$情形。