大色数无三角形图中的圈

二十多年前，Erd\H{o}s 猜想~\cite{E1}：当 $k \rightarrow \infty$ 时，色数 $k \geq k_0(\varepsilon)$ 的无三角形图 $G$ 包含至少 $k^{2 - \varepsilon}$ 种不同长度的圈。在本文中，我们证明了一个更强的事实：色数 $k \geq k_0(\varepsilon)$ 的每个无三角形图 $G$ 都包含 $(\frac{1}{64} - \varepsilon)k^2 \log k$ 种连续长度的圈，以及一个长度至少为 $(\tfrac{1}{4} - \varepsilon)k^2 \log k$ 的圈。由于对于较大的 $k$，存在色数为 $k$ 且顶点数至多约为 $4k^2 \log k$ 的无三角形图，这些结果在常数因子范围内是紧的。我们还给出了其他单调类中 $k$-色图的周长和不同圈长度数的新下界，特别是 $K_r$-free 图和不含奇圈 $C_{2s+1}$ 的图。