在无小圈条件下对直径有界图的着色

对于 $k\geq 1$，图 $G$ 的一个 $k$-着色 $c$ 是从 $V(G)$ 到 $\{1,2,\ldots,k\}$ 的映射，使得对任意两个不相邻顶点 $u$ 和 $v$ 有 $c(u)\neq c(v)$。$k$-Colouring 问题是判定图 $G$ 是否具有一个 $k$-着色。对于一个图族 ${\cal H}$，若 $G$ 不包含 ${\cal H}$ 中任何图作为诱导子图，则称 $G$ 是 ${\cal H}$-free 的。令 $C_s$ 为 $s$ 顶点圈。在先前工作（MFCS 2019）中，我们考察了直径约束对 $(C_3,\ldots,C_s)$-free 图以及 $H$-free 图（其中 $H$ 为某多联骨牌）的 $3$-Colouring 复杂性的影响。此处，我们对某些小的 $s$ 值证明：对于直径为 $2$ 的 $C_s$-free 图以及直径为 $2$ 的 $(C_4,C_s)$-free 图，$3$-Colouring 是多项式时间可解的。事实上，我们的结果对更一般的 List $3$-Colouring 问题也成立。我们以直径 $4$ 下的某些困难性结果补充了这些结论。