图遗传类中 $C_k$-染色的复杂性

对于图 $F$，若图 $G$ 不包含与 $F$ 同构的导出子图，则称 $G$ 为 \emph{$F$-free} 的。对于两个图 $G$ 和 $H$，$G$ 的 \emph{$H$-染色} 是一个映射 $f:V(G)\rightarrow V(H)$，使得对每条边 $uv\in E(G)$，有 $f(u)f(v)\in E(H)$。我们关注 $H$-{\sc Coloring} 问题的复杂性，该问题询问输入图 $G$ 是否存在 $H$-染色。特别地，我们考虑 $F$-free 图上的 $H$-{\sc Coloring}，其中 $F$ 是固定图，$H$ 是长度至少为 5 的奇圈。该问题与确定 $P_t$-free 图上 3-{\sc Coloring} 复杂性的著名未解决问题密切相关。我们证明，对于每个奇数 $k \geq 5$，$C_k$-{\sc Coloring} 问题即使在列表变体中，也可在 $P_9$-free 图上于多项式时间内求解。该算法可推广至 $k$ 为长度至少为 10 的偶数时的 $C_k$-{\sc Coloring} 列表版本。另一方面，我们证明，若 $F$ 的某个分支不是细分爪图的子图，则以下问题在 $F$-free 图上是 NP 完全的：a) 每个奇数 $k \geq 5$ 的 $C_k$-{\sc Coloring} 扩展版本；b) 每个偶数 $k \geq 6$ 的 $C_k$-{\sc Coloring} 列表版本。