遗传图类中的同态计算: 5-轮图与无长爪图的奇特情形

对于图$G$和$H$,$G$的一个$H$-着色是从$V(G)$到$V(H)$的保边映射。在$H$-Coloring问题中,$H$是固定的,我们询问实例图$G$是否存在$H$-着色。该问题的一个推广是$H$-ColoringExt,其中$G$的一些顶点已映射到$H$的顶点,我们询问该部分映射能否扩展为一个$H$-着色。我们研究$F$-free图(即排除固定图$F$作为诱导子图的图)中$H$-Coloring各类变体的复杂度。对于整数$a,b,c \geq 1$,记$S_{a,b,c}$为分别将长为$a+1$、$b+1$和$c+1$的三条路径的一个端点重合所得到的图。对于奇数$k \geq 5$,记$W_k$为在$k$-圈上添加一个泛顶点所得的图。作为我们的主要算法结果,我们证明$W_5$-ColoringExt在$S_{2,1,1}$-free图中可在多项式时间内求解。该结果展现了$H$-ColoringExt相对于取$H$的诱导子图的一种有趣的非单调性。确实,$W_5$包含一个三角形,而$K_3$-Coloring即经典的3-着色,在无爪图(即$S_{1,1,1}$-free图)中已是NP-hard。我们的算法基于两个主要观察:1. $S_{2,1,1}$-free图中的$W_5$-ColoringExt可在多项式时间内归约到一种求与所有三角形相交的独立集的变体问题;2. 后者问题在$S_{2,1,1}$-free图中可在多项式时间内求解。我们以若干否定性结果补充该算法结果。特别地,我们证明$W_5$-ColoringExt在$S_{3,3,3}$-free图中是NP-hard的。这再次不同寻常,因为通常在某常数$a,b,c$下于$S_{a,b,c}$-free图中为NP-hard的问题,在无爪图中已困难。