约束 $(P_t,C_3)$-自由图中 $4$-着色问题的计算复杂度差距

遗传图类上的 $k$-着色问题在过去十年中得到了广泛研究。遗传图类由（可能无限的）最小禁止导出子图列表刻画。我们称一个图是 $(H_1,H_2,\ldots)$-自由的，如果它不包含 $H_1,H_2,\ldots$ 中的任何一个作为导出子图。即使将问题限制在 $k=4$ 且仅由少量禁止导出子图定义的类上，其复杂度格局仍不清晰。虽然仅含一个禁止导出子图的情况最近已完全解决，但考虑两个禁止导出子图时仍存在若干未知情况。特别地，$(P_6,C_3)$-自由图上的 $4$-着色问题是多项式时间可解的，而 $(P_{22},C_3)$-自由图上的 $4$-着色问题是 NP-难的。我们提供了一个归约，证明 $(P_t,C_3)$-自由图上的 $4$-着色问题在 $19\leq t\leq 21$ 时是 NP-完全的，从而缩小了复杂度未知情况的差距。我们的证明包含一次计算机搜索，确保归约得到的图族确实是 $P_{19}$-自由的。