无环着色的困难度转变与唯一性

对 $k\in \mathbb{N}$，图 $G$ 的 $k$-无环着色是一个函数 $f\colon V(G)\to \{0,1,\dots,k-1\}$，满足 (i) 对 $G$ 的每条边 $uv$ 有 $f(u)\neq f(v)$，且 (ii) $G$ 中不存在被 $f$ 双色着的圈。对 $k\in \mathbb{N}$，问题 $k$-ACYCLIC COLOURABILITY 以图 $G$ 为输入，询问 $G$ 是否容许一个 $k$-无环着色。Ochem（EuroComb 2005）证明了 3-ACYCLIC COLOURABILITY 对最大度数为 4 的二部图是 NP-完全的。Mondal 等人（J. Discrete Algorithms, 2013）证明了 4-ACYCLIC COLOURABILITY 对最大度数为 5 的图是 NP-完全的。我们证明对 $k\geq 3$，$k$-ACYCLIC COLOURABILITY 对最大度数为 $k+1$ 的二部图是 NP-完全的，从而推广了 Ochem 的 NP-完全性结果，并为 Mondal 等人的 NP-完全性结果补充了二部性。相比之下，$k$-ACYCLIC COLOURABILITY 对最大度数不超过 $0.38\, k^{\,3/4}$ 的图可在多项式时间内求解。因此，对 $k\geq 3$，使得最大度数为 $d$ 的图中的 $k$-ACYCLIC COLOURABILITY 为 NP-完全的最小整数 $d$（记为 $L_a^{(k)}$）满足 $0.38\, k^{\,3/4}<L_a^{(k)}\leq k+1$。我们证明对 $k\geq 4$，$d$-正则图中的 $k$-ACYCLIC COLOURABILITY 是 NP-完全的当且仅当 $L_a^{(k)}\leq d\leq 2k-3$。我们还表明，检验输入图 $G$ 是否容许唯一的 $k$-无环着色（在颜色交换下，或在颜色交换与自同构下）是 coNP-困难的。