G-可着色图的 H-着色硬度的改进

我们给出了关于图近似着色以及更一般的近似 H-着色与承诺约束满足问题的新结果。首先，我们证明了对于每个 $k\geq 4$，用 $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}-1$ 种颜色对 $k$-可着色图进行着色是 NP-困难的。这改进了 Bulín、Krokhin 和 Opršal [STOC'19] 的结果（他们对 $k\geq 3$ 给出了用 $2k-1$ 种颜色对 $k$-可着色图着色是 NP-困难的）以及 Huang [APPROX-RANDOM'13] 的结果（他对足够大的 $k$ 给出了用 $2^{k^{1/3}}$ 种颜色对 $k$-可着色图着色是 NP-困难的）。因此，对于 $k\geq 4$，我们将已知的线性/次指数间隙改进为指数间隙。其次，我们证明了 H 的盒复形的拓扑本身决定了对于所有（非二部、H-可着色的）G，G-可着色图的 H-着色是否是 NP-困难的。这将 Krokhin 和 Opršal [FOCS'19] 关于对于所有（3-可着色、非二部的）G，G-可着色图的 3-着色是 NP-困难的这一结果背后的拓扑直觉形式化了。我们利用该技术确立了对于包含但不局限于 $K_3$ 的 H（包括无平方图与循环团，留下 $K_4$ 及更大团开放）的 G-可着色图 H-着色的 NP-困难性。我们所有证明背后的一个非常一般的观察是：伴随函子给出了承诺约束满足问题之间的归约。