广义着色数的困难性

Kierstead 与 Yang（Order 2003）提出的广义着色数给出了具有有界膨胀的图类的一种具有算法实用性的刻画。本文中，我们考虑这些参数的困难性与可近似性。首先，我们补全了 Grohe 等人（WG 2015）的工作，证明了计算弱 2-着色数是 NP-困难的。我们的方法进一步表明，对所有 $r \geq 2$，当以 $k$ 为参数时，判定图是否具有至多 $k$ 的弱 $r$-着色数是 para-NP-困难的。我们将其适配于判定图是否具有至多 $k$ 的 $r$-着色数，证明了对于所有 $r \geq 2$ 的 para-NP-困难性。para-NP-困难性意味着不存在用于检验广义着色数是否至多 $k$ 的 XP 算法（运行时间 $O(n^{f(k)})$）。此外，存在常数 $c$ 使得在因子 $c$ 内近似广义着色数是 NP-困难的。作为这些结果的补充，我们给出了一个广义着色数的近似算法，改进了 Dvořák（EuJC 2013）现有方法的运行时间与近似因子。我们证明了贪心地以小的估计反向连通度对顶点排序，可对 $r$-着色数达到 $(k-1)^{r-1}$-近似，对弱 $r$-着色数达到 $O(k^{r-1})$-近似。