弱着色数的改进界

弱着色数推广了图的退化性概念。它们由 Kierstead \& Yang 在图上的博弈背景下引入。近来，弱着色数与图子式理论及其推广中研究的各种参数之间的若干联系被揭示。在本注记中，我们证明对每个固定的 $k\geq1$，具有简单树宽 $k$ 的图的的最大 $r$ 阶弱着色数为 $\Theta(r^{k-1}\log r)$。作为一个推论，我们将平面图的最大 $r$ 阶弱着色数的下界从 $\Omega(r^2)$ 改进到 $\Omega(r^2\log r)$，并得到外平面图的一个紧界 $\Theta(r\log r)$。