Erdős–Gallai定理关于圈与路的稳定性，II

Erdős–Gallai定理指出，对于 $k \geq 3$，任何不含长度至少为 $k$ 的圈的 $n$ 顶点图的边数至多为 $\frac{1}{2}(k-1)(n-1)$。Kopylov给出了Erdős–Gallai定理的一个更强版本：若 $G$ 是一个不含长度至少为 $k$ 的圈的2-连通 $n$ 顶点图，则 $e(G) \leq \max\{h(n,k,2),h(n,k,\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor)\}$，其中 $h(n,k,a) := {k - a \choose 2} + a(n - k + a)$。此外，Kopylov给出了两种可能的极图，一种有 $h(n,k,2)$ 条边，另一种有 $h(n,k,\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor)$ 条边。本文完成了一个加强Kopylov结果的稳定性定理。特别地，我们证明了对于奇数 $k \geq 3$ 及所有 $n \geq k$，每个不含长度至少为 $k$ 的圈的 $n$ 顶点2-连通图 $G$ 是这两个极图之一的子图，或者满足 $e(G) \leq \max\{h(n,k,3),h(n,k,\frac{k-3}{2})\}$。此处 $e(G)$ 的上界是紧的。