Erdős关于非哈密顿图定理的推广

设 $n, d$ 为整数，满足 $1 \leq d \leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$，并令 $h(n,d):={n-d \choose 2} + d^2$。Erdős 证明当 $n \geq 6d$ 时，每个具有最小度 $\delta(G) \geq d$ 的 $n$ 顶点非哈密顿图 $G$ 至多拥有 $h(n,d)$ 条边。他还对所有这样的数对 $n,d$ 给出了一个紧例 $H_{n,d}$。此前，我们展示了该结果的一个稳定性版本：当 $n$ 足够大时，每个满足 $\delta(G) \geq d$ 且边数多于 $h(n,d+1)$ 的 $n$ 顶点非哈密顿图 $G$ 都是 $H_{n,d}$ 的子图。在本文中，我们证明图 $H_{n,d}$ 不仅在具有 $n$ 个顶点且最小度至少为 $d$ 的非哈密顿图中最大化边数，而且事实上当 $n$ 相对于 $d$ 和 $|F|$ 足够大时，它最大化任意固定图 $F$ 的副本数量。我们还展示了一个更强的稳定性定理，即我们分类了所有满足 $\delta(G) \geq d$ 且边数多于 $h(n,d+2)$ 的非哈密顿 $n$-图。我们通过证明一个更一般的定理来做到这一点：对任意 $k$，我们描述了所有具有多于 ${n-(d+2) \choose k} + (d+2){d+2 \choose k-1}$ 个 $K_k$ 副本的此类图。