Erdős关于非哈密顿图定理的一个稳定性版本

设$n, d$为满足$1 \leq d \leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$的整数，并令$h(n,d):={n-d \choose 2} + d^2$及$e(n,d):= \max\{h(n,d),h(n, \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor)\}$。由于$h(n,d)$是$d$的二次函数，存在$d_0(n)=(n/6)+O(1)$使得$e(n,1)> e(n, 2)> \dots >e(n,d_0)=e(n, d_0+1)=\dots = e(n,\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor)$。Erdős的一个定理指出，对于$d\leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$，任何最小度$\delta(G) \geq d$的$n$顶点非哈密顿图$G$至多有$e(n,d)$条边，且对于$d > d_0(n)$，唯一的极图就是图$K_n-E(K_{\lceil (n+1)/2\rceil})$。Erdős还对每个$1\leq d \leq d_0(n)$给出了一个极图$H_{n,d}$。我们证明，若$d< d_0(n)$且一个$2$-连通、非哈密顿的$n$顶点图$G$满足$\delta(G) \geq d$且边数多于$e(n,d+1)$，则$G$是$H_{n,d}$的子图。注意，只要$d< d_0(n)-1$，就有$e(n,d) - e(n, d+1) = n - 3d - 2 \geq n/2$。