Erdős、Faudree、Schelp 与 Simonovits 关于路与圈的极值问题

对于正整数 $n>d\geq k$，令 $\phi(n,d,k)$ 表示最小整数 $\phi$，使得每个至少有 $\phi$ 个度数至少为 $d$ 的顶点的 $n$ 顶点图都包含一条含 $k+1$ 个顶点的路。多年前，Erdős、Faudree、Schelp 与 Simonovits 提出对函数 $\phi(n,d,k)$ 的研究，并猜想对任意正整数 $n>d\geq k$，有 $\phi(n,d,k)\leq \lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{d+1}\rfloor+\epsilon$，其中当 $k$ 为奇数时 $\epsilon=1$，否则 $\epsilon=2$。本文精确确定了函数 $\phi(n,d,k)$ 的取值。这证实了上述 Erdős 等人的猜想对所有正整数 $k\neq 4$ 成立，并对 $k=4$ 的情形以修正形式予以证实。我们的证明除其他外利用了 Erdős 等人的引理 \cite{EFSS89}、Jackson 的定理 \cite{J81}，以及 Kostochka、Luo 与 Zirlin \cite{KLZ} 最新定理的（轻微）推广，其中后两个结果涉及二部图中的最大圈。此外，我们构造实例以回答 Erdős 等人提出的两个密切相关的问题。