关于无正常着色圈的边着色图与有向图的注记

我们研究以下两个函数：$d(n,c)$ 和 $\vec{d}(n,c)$；其中 $d(n,c)$（$\vec{d}(n,c)$）是指使得每个阶为 $n$ 且最小单色度（出度）至少为 $k$ 的 $c$-边着色无向（有向）图都包含一个正常着色圈的最小整数 $k$。Abouelaoualim 等人 (2007) 提出了一个蕴含 $d(n,c)=1$ 的猜想。利用对最小单色度为 $p$ 且无正常着色圈的 $c$-边着色图的递归构造，我们证明了 $d(n,c)\ge {1 \over c}(\log_cn -\log_c\log_cn)$，从而表明该猜想不成立。特别地，该不等式显著改进了 Gutin、Sudakov 和 Yeo 于 1998 年获得的关于 $\vec{d}(n,2)$ 的下界。