Erd\H{o}s-Gy\'{a}rf\'{a}s函数的相变
组合数学
2025-04-09 v1
摘要
给定正整数p,q。对于任意整数k≥2，若完备k图K_n^{(k)}的每一副K_p^{(k)}接收至少q种颜色，则称为(p,q)-着色。Erd\H{o}s-Gy\'{a}rf\'{a}s函数f_k(n,p,q)是指K_n^{(k)}拥有(p,q)-着色所需的最少颜色数。Conlon等人(\emph{IMRN, 2015}) conjectured that for any positive integers p, k and i with k≥3 and 1≤i<k, f_k(n,p,{{p-i}\choose{k-i}})=(\log_{(i-1)}n)^{o(1)}，其中\log_{(i)}n为n上的i次迭代对数。该猜想已被Conlon等人(\emph{IMRN, 2015})在k=3, p=4, i=1的情况下验证，Mubayi(\emph{JGT, 2016})在k=3, p=5, i=2的情况下验证，以及B. Janzer和O. Janzer(\emph{JCTB, 2024})在所有k≥4, p=k+1,i=1的情况下验证。本文给出新的构造，并展示该猜想在 infinitely many new cases中成立，即其对所有k≥4, p=k+2和i=k-1的情况均成立。
关键词
引用
@article{arxiv.2504.05647,
title = {Phase transitions of the Erd\H{o}s-Gy\'{a}rf\'{a}s function},
author = {Xinyu Hu and Qizhong Lin and Xin Lu and Guanghui Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.05647},
year = {2025}
}
备注
11 pages