二部 Erdős-Gyárfás 函数的增长率

给定两个图 $G, H$ 和一个正整数 $q$，$G$ 的一个 $(H,q)$-染色是指 $G$ 的一种边染色，使得 $G$ 中每个 $H$ 的副本至少接收到 $q$ 种不同颜色。二部 Erdős-Gyárfás 函数 $r(K_{n,n}, K_{s,t}, q)$ 定义为使得 $K_{n,n}$ 具有 $(K_{s,t}, q)$-染色所需的最少颜色数。对于平衡的完全二部图 $K_{p,p}$，函数 $r(K_{n,n}, K_{p,p}, q)$ 在 [Axenovich, Füredi 和 Mubayi, J. Combin. Theory Ser. B 79 (2000), 66--86] 中被系统研究。本文研究该函数对于未必平衡的完全二部图 $K_{s,t}$ 的渐近行为。我们的主要结果涉及该函数增长率的阈值以及下界和上界，特别是（次）线性和（次）二次增长。我们还得到了平衡二部情形下的新下界，并改进了 Axenovich、Füredi 和 Mubayi 给出的若干结果。我们的证明技术基于最近由 Pohoata 和 Sheffer 提出并精炼的色能量方法（Color Energy Method）向二部图的推广，以及 Corrádi 一个旧结论的推广。