完全二部图与平衡完全 k 部图的强公平顶点 1- Arboricity

图 $G$ 的\emph{公平 $(q, r)$-树染色}是 $G$ 的一种 $q$-染色，使得每个色类导出的子图是最大度至多为 $r$ 的森林，且任意两个色类的大小相差至多为 $1$。设图 $G$ 的\emph{强公平顶点 $r$-arboricity}（记为 $va^\equiv_r (G)$）为最小的 $p$，使得对每个 $q\geq p$，$G$ 都有公平 $(q, r)$-树染色。Tao 与 Lin 以及 Wu、Zhang 和 Li 研究了 $va^\equiv_1 (K_{n,n})$ 的值，并在一些特殊情形下给出了精确值。在本文中，我们通过给出所有情形下 $va^\equiv_1 (K_{n,n})$ 的精确值来推广他们的结果。在此过程中，我们引入一个与公平染色相关的新函数，并通过确定每个 $va^\equiv_1 (K_{m,n})$ 以及 $G$ 为平衡完全 $k$-部图 $K_{n,\ldots,n}$ 时的 $va^\equiv_1 (G)$ 的精确值，得到了一个更一般的结果。