网格的公平列表顶点可 Arbor 性与 Arboricity

图 $G$ 是公平 $k$-列表可 arborable 的，如果对任意 $k$-一致列表赋值 $L$，存在 $G$ 的一个公平 $L$-染色，其每个色类诱导出一个无环图。允许此种染色的最小整数 $k$ 称为公平列表顶点 arboricity，记为 $\rho_l^=(G)$。Zhang 于 2016 年提出猜想：若 $k \geq \lceil (\Delta(G)+1)/2 \rceil$，则 $G$ 是公平 $k$-列表可 arborable 的。我们给出一些有助于确定一般图是公平 $k$-列表可 arborable 的 $k$ 值的新工具。我们利用它们证明了 Zhang 猜想对 $d$ 维网格在 $d \in \{2,3,4\}$ 时成立，并给出了一般图以及 $d \geq 5$ 的 $d$ 维网格上 $\rho_l^=(G)$ 的新界。