使用少量颜色对 $K_n$ 进行 $(5,5)$-着色

对于固定的整数 $p$ 和 $q$，令 $f(n,p,q)$ 表示为完全图 $K_n$ 的所有边着色所需的最少颜色数，使得没有 $p$ 个顶点的团张成少于 $q$ 种不同的颜色。任何具有此性质的边着色被称为 $(p,q)$-着色。我们构造了一个显式的 $(5,5)$-着色，表明当 $n \rightarrow \infty$ 时 $f(n,5,5) \leq n^{1/3 + o(1)}$。这改进了 Erd\H{o}s 和 Gy\'{a}rf\'{a}s 给出的最佳已知概率上界 $O\left(n^{1/2}\right)$，并接近匹配最佳已知下界 $\Omega\left(n^{1/3}\right)$。