关于 Gallai 染色的 Erdős-Gyárfás 函数

对于固定的 $p$ 和 $q$，完全图 $K_n$ 的边染色若满足每个 $K_p$ 至少接收到 $q$ 种不同颜色，则称为 $(p, q)$-染色。函数 $f(n, p, q)$ 是使 $K_n$ 具有 $(p, q)$-染色所需的最少颜色数。该函数约在 45 年前被引入，但由 Erdős 和 Gyárfás 于 1997 年系统研究，现称为 Erdős-Gyárfás 函数。本文研究关于 Gallai 染色的 $f(n, p, q)$，其中 Gallai 染色是指无彩虹三角形的 $K_n$ 边染色。结合这两个概念，我们考虑函数 $g(n, p, q)$，即 $K_n$ 的 Gallai-$(p, q)$-染色所需的最少颜色数。利用 $K_3$ 的反 Ramsey 数，我们得到 $g(n, p, q)$ 仅在 $2\leq q\leq p-1$ 时非平凡。我们给出该函数的一般下界，并研究当 $q=p-1$ 且 $p\geq 4$ 时该函数如何从等于 $n-1$ 下降到当 $q = 2$ 时为 $\Theta(\log n)$。特别地，对于适当的 $p$ 和 $n$，我们证明当 $q=p-c$ 且 $c\in \{1,2\}$ 时 $g=n-c$，当 $q=\lfloor\sqrt{p-1}\rfloor$ 时 $g$ 至多为 $n$ 的分数幂，以及当 $2\leq q\leq \lfloor\log_2 (p-1)\rfloor+1$ 时 $g$ 关于 $n$ 为对数级。