含五个顶点与八条边的图的 Gallai-Ramsey 数

Gallai $k$-染色是指完全图的一种 $k$-边染色，其中不存在彩虹三角形。对于给定的图 $G_1, G_2, G_3$ 以及非负整数 $r, s, t$（满足 $k=r+s+t$），$k$-色 Gallai-Ramsey 数 $gr_{k}(K_{3}: r\cdot G_1,~ s\cdot G_2, ~t\cdot G_3)$ 是指最小整数 $n$，使得每个 Gallai $k$-染色的 $K_{n}$ 都含有由前 $r$ 种颜色之一染色的 $G_1$ 的单色拷贝，或由中间 $s$ 种颜色之一染色的 $G_2$ 的单色拷贝，或由最后 $t$ 种颜色之一染色的 $G_3$ 的单色拷贝。本文确定了当 $G_1=B_{3}^{+}$、$G_2=S_{3}^+$ 且 $G_3=K_3$ 时的 Gallai-Ramsey 数，进而得到 Gallai-Ramsey 数 $gr_{k}(K_{3}: B_{3}^{+})$。由此，含五个顶点与八条边的图的 Gallai-Ramsey 数被完全解决。此外，还分别得到了 Gallai-Ramsey 数 $gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot S_3^+)$、$gr_{k}(K_{3}: r\cdot B_3^+,~ (k-r)\cdot K_3)$ 与 $gr_{k}(K_{3}: s\cdot S_3^+,~ (k-s)\cdot K_3)$。