最大化q-着色数

令 $P_G(q)$ 表示图 $G$ 的正常q-着色数。这个被称为 $G$ 的色多项式的函数由Birkhoff于1912年引入，他试图通过在所有平面图 $G$ 上最小化 $P_G(4)$ 来攻克著名的四色问题。此后，在各种应用的推动下，人们对在各种图族上最小化或最大化 $P_G(q)$ 进行了大量研究。在本文中，我们研究了Linial和Wilf的一个老问题，即寻找具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边且使q-着色数最大化的图。我们提供了第一种方法，使得能够针对许多非平凡的参数范围解决该问题。利用我们的工具，我们证明了对于每个 $q \ge 4$ 以及足够大的 $m < \kappa_q n^2$（其中 $\kappa_q$ 约为 $1/(q \log q)$），极值图是减去星图边并加上孤立顶点的完全二部图。此外，对于 $q = 3$，我们确立了所有满足 $m \le n^2/4$ 的大 $m$ 下的最优图结构，从而（以更强的形式）证实了Lazebnik在1989年提出的猜想。