图的列表着色打包计数

给定一个图的列表分配，列表打包问题询问是否存在多个两两不相交的图的列表着色。最近出现了几篇研究此类列表着色打包存在性的论文。形式上，图 $G$ 的大小为 $k$ 的正常 $L$-打包是 $G$ 的 $k$ 个两两不相交的正常 $L$-着色的集合，其中 $L$ 是对 $G$ 的顶点进行颜色分配的列表分配。在本文中，我们发起了对图的此类列表着色打包计数的研究。我们定义 $P_\ell^\star(G,q,k)$ 为在所有为 $G$ 的每个顶点分配 $q$ 种颜色的列表分配 $L$ 下，$G$ 的大小为 $k$ 的正常 $L$-打包的保证数量，并令 $P^\star(G,q,k)$ 为其经典着色对应物。我们令 $P_\ell^\star(G,q)= P_\ell^\star(G,q,q)$，使得 $P_\ell^\star(G,q)$ 成为先前研究的列表打包数 $\chi_\ell^\star(G)$ 的计数函数。注意，$G$ 的着色多项式 $P(G,q)$ 即为 $P^\star(G,q,1)$，而 $G$ 的列表着色函数 $P_\ell(G,q)$ 即为 $P_\ell^\star(G,q,1)$。受列表着色函数和着色多项式的众所周知行为的启发，我们在 $q$ 足够大时 $P_{\ell}^\star(G,q,k) = P^\star(G,q,k)$ 是否成立的问题上取得了进展。我们的结果推广了Dong和Zhang（2023）最近的定理，该定理改进了可追溯至Donner（1992）的关于列表着色函数何时等于着色多项式的结果。此外，我们使用多项式方法将稀疏图的列表打包数 $\chi_\ell^\star(G)$ 的界推广到相应列表打包函数 $P_\ell^\star(G,q)$ 的指数级下界（以 $G$ 的顶点数计）。